来源论文: https://arxiv.org/abs/2606.25717v1 生成时间: Jun 25, 2026 18:49

两体相互作用对 Floquet 拓扑相的影响：基于实空间 Floquet 动力学平均场理论的深度解析

0. 执行摘要

周期性时间驱动（Floquet 工程）已成为在超冷原子和凝聚态物理中实现和调控新奇拓扑物态的核心手段。然而，在引入粒子间相互作用后，驱动系统面临着多体加热、非平衡相变和拓扑保护失效等严峻挑战。本研究聚焦于圆偏振驱动下的 Falicov-Kimball (FK) 模型在蜂窝格点（Honeycomb Lattice）上的行为。通过耦合局域非相互作用费米子热库，系统达到了非平衡稳态（NESS）。

为了克服强关联和中等驱动频率下微扰论与有效静态哈密顿量方法的失效，本工作采用非微扰的实空间 Floquet 动力学平均场理论（Real-Space Floquet Dynamical Mean-Field Theory, RFDMFT）。研究表明：

1. 拓扑相的稳定性与演化：在弱相互作用下，系统在高频驱动区表现出有效的 Haldane 相，在中频驱动区表现出反常 Floquet 拓扑绝缘体（AFTI）相；
2. 电荷泵浦的退量子化（De-quantization）：随着两体相互作用强度 $U$ 的增大，由于相互作用导致的边界态（Edge Modes）谱展宽和局域去局域化转变，Laughlin 电荷泵浦不再保持量子化，直至系统在 $U/\Omega \approx 0.3$ 附近发生向平凡莫特绝缘体（Mott Insulator）的拓扑相变；
3. 非对称能谱耗散规律：在低相互作用极限下，高频 Haldane 相的能量耗散率表现出随 $U$ 的二次（凸函数）依赖关系，对应非共振加热机制；而中频反常拓扑相表现出对 $U$ 极度敏感的凹函数依赖关系，预示着多体 Floquet 共振的高效能量转化。

本研究为强关联非平衡拓扑系统的动力学模拟提供了高精度的 Benchmark 框架，并对未来在超冷原子光学晶格中实现鲁棒的相互作用 Floquet 拓扑相具有重要的指导意义。

1. 核心科学问题、理论基础、技术难点与方法细节

1.1 核心科学问题

本工作的核心科学问题在于：多体相互作用（Two-Body Interactions）如何影响周期性驱动拓扑物态（Floquet Topological Phases）的稳定性，尤其是在非高频（中等频率）驱动机制下。

在无相互作用的 Floquet 系统中，高频极限下的有效哈密顿量可以很好地用静态 Haldane 模型等效。然而，当驱动频率 $\Omega$ 降至与系统带宽或相互作用强度相近的尺度时，会出现无法用单一能带 Chern 数描述的反常 Floquet 拓扑绝缘体（AFTI）。这类系统即使体带（Bulk Band）的 Chern 数为零，在其所有的带隙（Bandgaps）中仍然存在手征边界态。当引入两体相互作用时，系统会通过多光子吸收过程发生“Floquet 加热”，最终退化为无规的无穷大温度状态。如何在理论上精确处理强相互作用、周期驱动以及耗散通道的协同作用，是当前关联量子物理的关键瓶颈。

1.2 理论基础

本工作研究的物理载体是蜂窝格点上的两组分非平衡 Falicov-Kimball 模型，其含时哈密顿量为：

其中 $\hat{c}_i$ 和 $\hat{f}_i$ 分别表示在格点 $i$ 处的巡游费米子和重（局域、无自旋轨道耦合且不移动的）费米子。圆偏振驱动通过调制三个方向的最近邻跳符 $J_\gamma(t)$ 实现：

其中权重相位为 $\phi_\gamma = \frac{2\pi(\gamma - 1)}{3}$，$\gamma \in \{1, 2, 3\}$ 分别对应蜂窝格点的三个连接方向 $\boldsymbol{\delta}_1, \boldsymbol{\delta}_2, \boldsymbol{\delta}_3$。$B$ 为调制幅度，$\Omega$ 为驱动频率。该驱动方案可以在无序系统下诱导反常 Floquet 安德森绝缘体（AFAI）。

为了在理论上维持稳态并模拟实验中的能量退激，系统通过 Büttiker 耗散热库模型耦合到独立的无相互作用费米子热库 $\mathcal{H}_b$：

这里通过设定化学势 $\mu_b$ 保证系统与热库之间没有净粒子流（满足半填充条件 $\langle \hat{c}_i^\dagger \hat{c}_i \rangle = 0.5$），温度设为极低温 $T/J = 0.01$。

1.3 技术难点与非平衡非微扰处理

1. 微扰论的失效：由于相互作用 $U$ 可以与跳符 $J$、甚至驱动频率 $\Omega$ 处于同一量级，基于 Magnus 展开等常规高频微扰技术在处理中频反常拓扑相（AFTI）时彻底失效。
2. 空间不均匀性与几何边界：为了计算拓扑属性（如边界态和电荷泵浦），必须在圆柱几何（Cylinder Geometry）下工作，这意味着平移对称性在边界方向破缺，常规动量空间 DMFT 无法直接应用，必须使用实空间 DMFT (Real-Space DMFT)。
3. 多维自共振的不稳定性与收敛极难点：在非平衡稳态（NESS）中，Floquet 矩阵的维数理论上是无穷大。在自洽循环中，尤其是接近 Floquet 布里渊区边缘或处于中频区（$\Omega/J = 8.7$）时，自洽迭代极易发散，传统的 Newton-Raphson 混合法极难收敛。本工作引入了高效的 Broyden 求解器才突破了这一数值瓶颈。

1.4 实空间 Floquet 动力学平均场（RFDMFT）方法细节

在无限空间配位数极限下，格点关联模型可精确映射到局域自洽的 Anderson 杂质模型（AIM）。结合 Floquet-Keldysh 形式，非平衡单粒子格林函数在“格点-Floquet”双基矢下写为如下矩阵形式：

其中 $m, n \in \mathbb{Z}$ 为光子能级区间（Photon Sectors），$\omega \in [-\Omega/2, \Omega/2)$。具体 RFDMFT 自洽流程如下：

1. 初始化格点自能：对于 $U/\Omega = 0$，将自能设为 0。对于有限 $U$，由小到大逐步扫描，用前一个收敛解作为输入初试值 $[\mathbf{\Sigma}(\omega)]_{i, mn}$。

2. 计算介质格林函数：通过求解格点 Dyson 方程，将格林函数表达为：

   $$[\mathbf{G}^{-1}(\omega)]_{ij, mn} = [\mathbf{G}_0^{-1}(\omega)]_{ij, mn} - \delta_{ij} [\mathbf{\Sigma}(\omega)]_{i, mn} - \delta_{ij} [\mathbf{\Sigma}_b(\omega)]_{i, mn}$$

   其中，非相互作用格林函数反矩阵 $[\mathbf{G}_0^{-1}(\omega)]^R_{ij, mn} = (\omega + \mu + i\eta)\delta_{ij}\delta_{mn} - [\mathcal{H}_0]_{ij, mn}$。热库自能不含实部移动，其虚部为频不相关的恒定谱密度 $\Gamma/J = 0.005$：

   $$[\mathbf{\Sigma}_b^R(\omega)]_{i, mn} = -i\Gamma\delta_{mn}, \quad [\mathbf{\Sigma}_b^K(\omega)]_{i, mn} = -2i\Gamma F(\omega + n\Omega)\delta_{mn}$$

3. 提取局域 Weiss 格林函数：对每个格点 $i$，排除自身关联效应，构造有效局域杂质模型的未关联格林函数：

   $$[\mathbf{\mathcal{G}}^{(i)}(\omega)]^{-1}_{mn} = [\mathbf{G}(\omega)]^{-1}_{ii, mn} + [\mathbf{\Sigma}(\omega)]_{i, mn}$$

4. 杂质模型严格求解：对于 Falicov-Kimball 模型，杂质自能求解器有解析表达式（在重费米子半填充 $w_i = 0.5$ 下）：

   $$[\mathbf{G}^{(i)}(\omega)]_{mn} = (1 - w_i) [\mathbf{\mathcal{G}}^{(i)}(\omega)]_{mn} + w_i \left( [\mathbf{\mathcal{G}}^{(i)}(\omega)]^{-1} - U \mathbf{1} \right)^{-1}_{mn}$$

5. 更新格点自能：利用局域 Dyson 方程计算更新的局域自能：

   $$[\mathbf{\Sigma}^{(i)}(\omega)]_{mn} = [\mathbf{\mathcal{G}}^{(i)}(\omega)]^{-1}_{mn} - [\mathbf{G}^{(i)}(\omega)]^{-1}_{mn}$$

6. 收敛性判据：计算两代自能差的最大值 $\chi(\omega) = \max_{i, m, n} | [\mathbf{\Sigma}^{(i)}(\omega)]_{mn} - [\mathbf{\Sigma}(\omega)]_{i, mn} |$。若 $\chi(\omega) < \epsilon$（本工作设 $\epsilon = 10^{-5}$），则循环终止；否则，利用 Broyden 算法混合更新自能，返回步骤 2。

2. 关键 Benchmark 体系、计算所得数据与物理性能分析

2.1 模拟体系配置

• 空间格点几何：在二维蜂窝格点上， bulk 谱计算采用 $16 \times 16$ 周期性边界条件（PBC）。拓扑和输运特性采用 $8 \times 16$ 沿 $y$ 方向开放（OBC）、沿 $x$ 方向闭合的圆柱体几何（Cylinder Geometry）。
• 驱动协议参数：$J = 1.0$，相互作用调控范围 $U/\Omega \in [0, 4.0]$。光子能级截断数选为 $|m|, |n| \le 2$（共计 5 个 Floquet 谐波通道）。
• 能量和温控参数：热库杂化率 $\Gamma/J = 0.005$，温度 $T/J = 0.01$。实轴频率格点数 $n_f = 1024$。

2.2 核心物理量计算公式与数据分析

2.2.1 体相光谱与占据态密度（Bulk Spectral Function & Occupied DOS）

利用自洽解，我们计算体光谱函数 $\mathcal{A}(\omega')$ 和占据态密度 $\mathcal{N}(\omega')$（其中 $\omega' = \omega + n\Omega$）：

• 高频极限（$\Omega/J = 18$）：
  • 在弱相互作用下（如 $U/\Omega = 0.05$），谱中呈现明显的能隙，其占据态主要分布在下能带，上能带几乎没有被占据，这与基态 Haldane 模型高度一致。
  • 随着 $U$ 逐渐增加（到 $U/\Omega \sim 0.3$），Hubbard 带相互靠近。跨越 $U/\Omega \approx 0.3$ 后，由于强关联效应，系统发生向平凡莫特绝缘体的相变，带隙关闭并重新打开，表现出无拓扑边界态的特征。
• 中频极限（$\Omega/J = 8.7$）：
  • 与高频完全不同，占据态均匀分布在所有的能带上（见图 3b），说明在中频驱动下，系统无法通过任何静态等效哈密顿量来描述。多光子吸收过程极其剧烈，粒子几乎均匀地激达到高能带中。

2.2.2 边界态谱与 Laughlin 电荷泵（Edge Spectrum & Laughlin Pump）

在圆柱几何上，引入穿过圆柱轴线的磁通量 $\theta \in [-\pi, \pi)$。这通过使跨越边界的跳符引入额外的相位因子 $\exp(\pm i\theta)$ 来实现。 我们将圆柱在空间轴向平分为上半部分（Upper, $U$）和下半部分（Lower, $L$）。对于每个 $\theta$，计算其子系统粒子数：

定义净电荷转移量 $Q(\theta) = Q^U(\theta) - Q^L(\theta)$。Laughlin 电荷泵浦量子数 $P$ 定义为：

• 数据定量演化规律（见图 5）：
  • 对于无相互作用且无耗散热库的封闭系统，$P$ 严格量子化为 1（在拓扑相内）。
  • 在存在有限耗散热库 $\Gamma$ 的非稳态下，即使在极弱相互作用极限下，$P$ 也会轻微偏离整数（如 $U/\Omega = 0.01$ 时，$P \approx 0.94$）。
  • 随着相互作用 $U/\Omega$ 从 0.01 增大到 0.3，泵浦电荷量 $P$ 发生单调衰减。当 $U/\Omega \ge 0.3$ 时，泵浦电荷急速跌落至接近 0（$P < 0.05$），这也精确地界定了向拓扑平凡莫特绝缘体的相变临界点。
  • 该退量子化过程是由于边界手征模式（Chiral Edge Modes）在相互作用引起的自能虚部作用下，发生谱线展宽（Spectral Broadening）并与体能带发生了强烈的杂化（Hybridization）所致（见图 4 的边界谱演化）。

2.2.3 零温零磁通局域态密度（LDOS）

定义零频零磁通下的实空间局域态密度为：

图 6 显示了随着远离圆柱边缘（从 $i_y = 1$ 到 $i_y = 8$），$\mathcal{A}^{(0)}$ 的变化：

• 在弱相互作用（$U/\Omega = 0.01$）下，谱密度表现出极强的边界自局域化特征，体区（$i_y > 4$）的态密度比边界（$i_y = 1$）低 2-3 个数量级。
• 随着相互作用增加（如 $U/\Omega = 0.3$），边界局域态密度向体区延伸，展现出强烈的边界-体区杂化，表明原本受拓扑保护的手征边界通道泄露到了体能带中，这在微观上完美解释了 Laughlin 电荷泵浦退量子化的原因。

3. 代码实现细节、数值算法与复现指南

3.1 核心算法结构与 Floquet 矩阵构建

由于自洽求解过程需要在复数矩阵空间中频繁地进行大矩阵反演，程序通常使用 Fortran/C++ 或 Julia/Python + Scipy 的高性能接口实现。以下为 RFDMFT 的核心算法流程复现伪代码：

import numpy as np
from scipy.linalg import inv

# 参数定义
Omega = 18.0       # 驱动频率
U = 1.8            # 相互作用强度
Gamma = 0.005      # 热库耗散率
N_site = 128       # 实空间总格点数 (8x16)
N_photon = 5       # 截断光子通道数 (m in [-2, 2])
N_freq = 1024      # 实轴频格点数

# 1. 构造非含时 Floquet 哈密顿量矩阵 [H_0]_{ij, mn}
def build_floquet_hamiltonian(theta):
    # H_0 的维数为 (N_site * N_photon) x (N_site * N_photon)
    # 利用贝塞尔函数展开含时跳符：J_gamma(t) -> I_{n-m}(B)
    # 并在对角线项注入光子能级平移 -m * Omega * delta_{ij} * delta_{mn}
    H_F = np.zeros((N_site * N_photon, N_site * N_photon), dtype=complex)
    # ... 根据公式 (14) 填充非对角格点耦合与相位项 ...
    return H_F

# 2. Broyden 求解器核心逻辑
class BroydenSolver:
    def __init__(self, size, max_history=50):
        self.max_history = max_history
        self.history_F = []
        self.history_V = []
        self.alpha = 0.1 # 混合比例

    def update(self, V_old, F_curr):
        # V 是待优化的自能向量，F 是残差向量 Sigma_impurity - Sigma_lattice
        # 根据公式 (B1)-(B2) 计算拟牛顿更新方向并返回下一个 V_new
        # ... 实现矩阵历史信息的对消与拟牛顿近似逆 Jacobin 乘积 ...
        return V_new

3.2 提高数值稳定性的关键技巧

1. Broyden 历史残差控制：历史长度建议设为 $50$。过短（如 $<10$）会导致在中频区迭代时无法跨越局域极小值障碍；过长会消耗极高内存，且累积舍入误差。
2. 化学势自洽微调：由于驱动会改变系统的有效化学势，必须在每一步迭代中通过割线法动态微调 $\mu_b$，以保证总占据数严格维持在 $\sum_i \langle \hat{n}_i \rangle / N_s = 1.0$ 的半填充状态。
3. 非平衡自能边界截断保护：在极宽实频格点积分时，为了抑制高能光子能带阶跃带来的数值不连续，可以对极高频项实施解析尾部拟合（Analytical Tail Fitting, 以 $1/\omega$ 渐进展开）。

4. 关键引用文献与该工作的局限性学术短评

4.1 关键参考文献及其地位

1. Kitagawa et al., Phys. Rev. B 82, 235114 (2010) [文献 12]
   • 地位：首次系统建立了利用时间周期性驱动实现新型拓扑相（Floquet 拓扑绝缘体）的理论框架，是本研究中 Floquet 调控方案的理论基石。
2. Rudner et al., Phys. Rev. X 3, 031005 (2013) [文献 14]
   • 地位：定义了反常 Floquet 拓扑绝缘体（AFTI）的拓扑不变量（Winding Number），指出这类物态具有零 Bulk Chern 数但手征边界态仍然存在的奇特特性。
3. Falicov and Kimball, Phys. Rev. Lett. 22, 997 (1969) [文献 37]
   • 地位：提出著名的 FK 模型，该模型由于重费米子不具有动能，其杂质求解器在动力学平均场极限下有严格解析解，是开展强关联非平衡物理的高精度 Benchmark 平台。
4. Aoki et al., Rev. Mod. Phys. 86, 779 (2014) [文献 31]
   • 地位：关于非平衡格林函数与 Floquet 动力学平均场理论的奠基性综述，提供了非平衡自洽框架和 Keldysh 形式的完整数理方法指导。

4.2 本工作局限性学术短评

尽管该工作利用 RFDMFT 提供了极高水平的非平衡强关联数值模拟，但在学术层面仍存在以下局限性：

1. FK 模型的物理简化局限： Falicov-Kimball 模型假设其中一种自旋费米子完全固定不动（跳符为 0）。虽然这使得自洽杂质求解器有解析解并确保了高数值精度，但无法模拟真实冷原子系统或固体物理中最为关键的双组分 Hubbard 模型（两类自旋皆可巡游并发生动力学自旋涨落）。在真实 Hubbard 模型中，自旋自由度与轨道自由度的纠缠会引发更复杂的非共振加热与自旋液体态，这些效应在 FK 模型中被忽略了。
2. Floquet 光子数截断的限制： 由于计算资源的约束，Floquet 矩阵在 $m, n = \pm 2$ 处截断。尽管在高频下这一近似十分精确，但在中低频（$\Omega/J \le 5.0$）或者极强驱动幅值（$B/J \gg 2$）下，高阶多光子过程无法被完全忽略，高阶谐波的能量泄漏和拓扑相变行为可能因截断误差而失真。
3. DMFT 的非局域关联关联缺失： 动力学平均场理论（DMFT）在空间配位数 $d \to \infty$ 极限下是精确的，而在真实二维（$d=2$）蜂窝格点上，它忽略了非局域的自旋/电荷涨落（例如最近邻的反铁磁关联、超导配对涨落等）。这些非局域关联对低维系统的拓扑物性及相界有重要影响，需要使用诸如集群 DMFT（Cluster DMFT）或非平衡动力学顶点修正（D\GammaA）才能进一步精确描述。

5. 补充理论：Floquet-Keldysh 形式下的能量耗散机制深度推导

为了更好地在物理层面上理解系统的能量流动，我们对非平衡稳态下的**能量耗散率 $I$（系统流入热库的净能量流）**进行解析推导。

从海森堡运动方程出发，系统流入热库的能量耗散率等于耦合项哈密顿量的时间变化率：

利用 Keldysh 路径积分形式，消去热库算符 $\hat{b}_{i, p}$ 自由度，我们可以将该平均值写为用系统单粒子格林函数和热库耦合自能表示的积分形式。最终在实空间-Floquet 基矢下，稳态下的耗散率可严格表达为（见公式 26）：

其中 $F(x) = \tanh\left( \frac{x}{2 k_B T} \right)$。这一公式揭示了其微观耗散机制的物理本质：

1. 非平衡占据偏离的物理驱动力： 耗散项大小由两部分的乘积决定：其一是系统实际的非平衡 Keldysh 谱密度 $\text{Im}[\mathbf{G}^K]$，其二是热库在相应 Floquet 光子分支上的热平衡分布 $2 F(x) \text{Im}[\mathbf{G}^R]$。只要系统由于周期性驱动偏离了平衡态，产生非零的偏离项，能量便会通过虚耦合 $\Gamma$ 泄露进入热库。

2. 两种相中加热机制的本质分歧：

   • Haldane 相（高频 $\Omega/J = 18$）中的非共振加热： 在此极限下，驱动频率远大于系统带宽，多光子吸收属于极高阶过程。在弱相互作用下，系统能量耗散率随 $U$ 的演化如图 7c 所示，具有明显的凸二次曲线特征：

     $$I \propto U^2$$

     这对应于典型的**费米黄金规则（Fermi’s Golden Rule）**主导的非共振弱激发过程，说明此时通过合理的温度和相互作用调控，拓扑相极易在实验中保持稳定。

   • 反常拓扑相（中频 $\Omega/J = 8.7$）中的共振加热： 在此驱动区，驱动能量与多体激发谱发生共振（多体 Floquet 共振）。即使在弱相互作用极限下，$I$ 随 $U$ 的演化也表现为强烈的凹函数依赖（图 7d），在 $U \to 0$ 附近表现出非线性的极高斜率。这说明哪怕微弱的相互作用，也会导致系统与驱动场发生极高效的共振耦合，迅速将能量输运并耗散至热库中。这一结论对于在冷原子实验中如何抑制加热、精细选择工作频率区间具有极高实用价值。

通过将非平衡格林函数理论与这一能量分析相结合，本工作不仅厘清了相互作用对 Floquet 系统拓扑性质的破坏机制，也为如何在非平衡稳态下维持稳定的量子相提供了关键物理判据。