来源论文: https://arxiv.org/abs/2606.16968v1 生成时间: Jun 20, 2026 15:59

t-t’-J模型中伪能隙到条纹相过渡的电子格林函数研究：基于复时间METTS与张量网络算法的深度解析

0. 执行摘要

强关联电子系统中的伪能隙（Pseudogap）现象及其与电荷密度波（CDW）、条纹相（Stripe Order）的交织关系，是凝聚态物理学和量子化学多体理论中最核心且未决的难题之一。本文深度解析了一项利用张量网络算法探索欠掺杂 $t-t'-J$ 哈密顿量在有限温度下动力学行为的前沿研究。该工作采用最小纠缠典型热态（METTS）方法，结合复时间路径含时变分原理（Complex-Time TDVP），在宽度为 4 的圆柱几何（Width-4 Cylinders）上成功计算了单粒子谱函数 $A(\mathbf{k}, \omega)$。

研究表明，动量分化（Momentum Differentiation）这一伪能隙的特征行为强烈依赖于次邻近跃迁项 $t'$。随着温度降低，在节点区域 $\mathbf{k} = (\pi/2, \pi/2)$ 附近，系统展现出特征能隙的打开与闭合，这一过程在中间温度区伴随着明显的**费米弧（Fermi Arc）特征。更为关键的是，研究揭示了低温下的相干条纹相在加热时并不会直接融化为无结构的费米液体，而是过渡到一种由涨落的介观电荷团簇（Fluctuating Charge Clusters）构成的“预阻止相分离”（Forestalled Phase Separation）**中间态。这一微观图像为铜氧化物超导体中伪能隙的非配对起源（Non-pairing Origin）提供了强有力的数值证据。

1. 核心科学问题，理论基础，技术难点，方法细节

1.1 核心科学问题与理论背景

在铜氧化物（Cuprates）等强关联超导材料的相图中，超导穹顶（Superconducting Dome）之上的“伪能隙”态一直是理论研究的焦点。伪能隙态表现为费米面特定区域（如反节点区域）单粒子激发谱密度的部分抑制。物理学界对于伪能隙的起源存在两类主要假说：

1. 预形成库珀对假说（Pre-formed Pairs）：认为伪能隙是无相干相位的超导配对能隙在临界温度 $T_c$ 以上的残留；
2. 竞争序假说（Competing Orders）：认为伪能隙由非超导的某种空间对称性破缺序（如电荷密度波 CDW、条纹相）或其涨落所致。

为了澄清这一问题，必须在代表性微观模型中精确求解有限温度下的单粒子动力学谱。然而，由于强电子关联导致的费米子符号问题，传统的量子蒙特卡洛（QMC）方法在极低温和动力学性质计算中面临指数级衰减的信噪比。因此，开发不依赖符号问题的精密多体数值算法至关重要。

1.2 $t-t'-J$ 模型的量子多体哈密顿量描述

本工作研究的微观哈密顿量为二维平方晶格上的 $t-t'-J$ 模型，其哈密顿量算符形式为：

其中，$\langle ij \rangle$ 和 $\langle\langle ij \rangle\rangle$ 分别表示最近邻和次邻近格点对。$P_G$ 为 Gutzwiller 投影算符，其严格禁止了任何格点的双重占有（Double Occupancy），即 $n_i = \sum_{\sigma} c^{\dagger}_{i\sigma} c_{i\sigma} \le 1$。此限制引入了极强的局域排斥关联，是典型的强关联多体体系特征。本工作将最近邻跃迁能 $t$ 设为能量单位（$t=1$），并固定超交换作用项 $J = 0.4$，这对应于强耦合极限下的 $U/t = 10$ Hubbard 模型。为了模拟电子掺杂和空穴掺杂铜氧化物的不对称性，引入了次邻近跃迁项 $t' = \pm 0.2$。其中 $t' = -0.2$ 对应空穴掺杂，而 $t' = 0.2$ 对应电子掺杂。

1.3 技术难点：有限温度多体动力学与纠缠瓶颈

利用矩阵乘积态（MPS）等一维张量网络方法模拟二维体系（通过沿圆柱面螺旋缠绕的方式）在零温下已取得巨大成功。然而，当向有限温度和时空动力学推广时，会遇到两大核心技术瓶颈：

1. 热态纯化（Purification）的纠缠膨胀：在有限温度下，传统的辅助空间纯化方法引入了双倍的自由度。随着时间演化，系统纠缠熵（Entanglement Entropy）迅速呈线性增长（即所谓的纠缠壁垒 Entanglement Barrier），导致 MPS 的键合维度（Bond Dimension, $\chi$）随时间呈指数增长，使得计算极难推进到长时极限。
2. 正则系综下的化学势不确定性：张量网络计算通常在粒子数固定的正则系综（Canonical Ensemble）中进行，而单粒子谱函数的计算与比较需要准确的巨正则系综化学势 $\mu$。在强关联区域，由于配对结合能（Pair-Binding Energy）的存在，基态能量 $E_0(N)$ 是非凸的（Non-convex），简单的差分求导方法失效。

1.4 核心方法细节：复时间 METTS 算法

为了克服上述瓶颈，本研究采用了一种极其巧妙的方法——动态最小纠缠典型热态（Dynamical METTS）。其基本步骤如下：

1.4.1 METTS 状态采样

有限温度下的系综平均值可写为：

其中，$\beta = 1/k_B T$。METTS 算法不使用纯化态，而是通过 imaginary-time evolution 将一组完全经典的无纠缠乘积态 $|\sigma_i\rangle$（CPS）投影为低纠缠的典型态：

权重为 $p_i = \langle\sigma_i|e^{-\beta H}|\sigma_i\rangle$。通过马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法采样这些 snapshots，可以在不需要纯化辅助空间的情况下高效计算有限温度期望值。由于 $|\psi_i\rangle$ 保持了极低的纠缠（通常满足面积律而非体积律），大大减轻了张量网络的计算负担。

1.4.2 复时间路径（Complex-Time Contour）演化

在计算动力学关联函数 $\langle A(t) B \rangle$ 时，本工作摒弃了直接在实时间轴上的演化，转而采用复平面上的时间参数 $z = t - i\tau$。具体而言，将时间演化路径置于一个倾斜角为 $\theta$ 的复数路径上（如图 1 所示）：

这种复时间演化算符为 $U(\tau) = e^{-\tau H}$。复时间的引入带来了本质性的计算优势：虚部 $-i\tau$ 提供了类似于“能量斩波”的衰减效应，自然地抑制了高能高纠缠物理态的增长速度，从而极大地缓解了时空演化过程中的纠缠熵膨胀。计算完成后，再通过解析延拓或窗口化傅里叶变换，恢复出高分辨率的实频谱。

   Imaginary Axis (iτ)
        ^
        |     / 
        |    /  Complex Contour (angle θ)
        |   /   
        |  /    z = t(cosθ - i sinθ)
        | /     
--------+----------------------------> Real Axis (t)
        |

1.4.3 单粒子谱函数的构造

单粒子谱函数 $A(\mathbf{k}, \omega)$ 通过计算实时间推迟格林函数得到：

通过对 $G^R(\mathbf{k}, t)$ 进行时空傅里叶变换，并取虚部得：

为了消除有限时间截断导致的吉布斯振荡（Gibbs Oscillations），在傅里叶变换过程中引入了 Hanning 或 Blackman-Harris 空间和时间窗口函数。

2. 关键 Benchmark 体系，计算所得数据，性能数据

2.1 模拟体系参数

• 几何结构：$16 \times 4$ 和 $24 \times 4$ 的平方晶格圆柱体（沿 $y$ 方向周期性边界条件，沿 $x$ 方向开放边界条件）。
• 电子掺杂度：固定为空穴掺杂浓度 $p = 1/16$（在 $16 \times 4$ 体系中对应 $N = 60$ 个电子，即 4 个空穴）。
• 参数区间：$t' = \pm 0.2$，$J = 0.4$，温度区间 $T \in [0.0, 2.0]$。

2.2 化学势 $\mu$ 的精准基准化（Benchmark）

为了在不同的掺杂度和温度下统一谱函数的横坐标，必须先精确求解化学势 $\mu$。研究采用 Legendre 变换（Legendre Transformation）克服由于配对结合效应带来的能量非凸性问题：

在零温下，基态非凸能量 $E_0(N)$ 的细节和对应的 Legendre 积分台阶显示在论文的附录图 S1 中。计算所得的精确化学势数据如下表所示（固定 $J/t = 0.4$）：

这些超高精度的化学势数据保证了后续谱函数激发能（$\omega - \mu$）标定的绝对准确性。

2.3 单粒子谱函数的核心演化数据

论文图 1 与图 2 详细展现了单粒子谱函数 $A(\mathbf{k}, \omega)$ 随温度的演化，其核心观测数据包括：

2.3.1 极化子带（Polaronic Band）行为

在零温（DMRG计算）下，存在一个明显位于化学势 $\mu$ 以下的相干、尖锐色散带。对于 $t' = 0.2$，该带带宽约为 $1.3t$，而在 $t' = -0.2$ 时，由于次邻近跃迁的压制，该带进一步扁平化至 $\approx 0.6t$。这比非相互作用自由费米子带宽（$8t$）小得多，表明空穴被强烈地磁重整化（Magnetic Renormalization），形成了**磁极化子（Magnetic Polaron）**自能结构。

2.3.2 节点能隙 $\Delta_N$ 与反节点能隙 $\Delta_A$

• 节点区域：$\mathbf{k}_N = (\pi/2, \pi/2)$。当 $T = 0$ 时，节点能隙 $\Delta_N \approx t$。随着温度升高，节点处的能隙开始迅速融化，光谱权重增加。当 $T \approx 0.1$ 时，节点间隙已基本被填充，形成费米弧结构。对于 $t' = 0.2$，节点能隙在 $T \approx 0.1$ 时完全关闭；而对于 $t' = -0.2$，则需要更高的温度（$T \approx 0.2 - 0.5$）才能彻底闭合，因为极化子带在后一种情况下被推向了更低的能量深处。
• 反节点区域：$\mathbf{k}_A = (\pi, 0)$。反节点处的演化表现出极强的不对称性。对于 $t' = -0.2$ 的空穴掺杂体系，反节点能隙高达 $\Delta_A \approx 1.5t$，且即使在 $T = 0.5$ 的高温下依然保持张开。这清晰地证实了**动量差异化（Momentum Differentiation）**的存在：节点能隙先于反节点能隙闭合，这是典型的温控费米弧行为。

2.4 性能与收敛性基准数据

为了验证动态复时间 METTS 算法的可靠性，研究团队对算法的关键参数（截断误差、MPS 键合维度、复时间倾角 $\theta$、圆柱长度 $L$）进行了系统的 Benchmark 检验（图 S4，S5）：

• 键合维度（Bond Dimension）收敛性：分别测试了 $\chi = 500, 750, 1000$ 的情况。在关联函数演化至 $t = 50$ 的长时极限下，$\chi=1000$ 与 $\chi=500$ 之间的格林函数虚部绝对误差小于 $1.5\%$，谱函数 $A(\mathbf{k}_N, \omega)$ 的主峰位置和半高宽无明显漂移，表现出极高且稳健的收敛性。
• 复时间倾角 $\theta$ 敏感度测试：在 $\theta = \pi/32, \pi/16, \pi/8$ 下进行计算，结果表明 $\theta = \pi/16$ 能够完美平衡纠缠熵控制与高频谱特征的保留。增大 $\theta$ 虽能进一步压制纠缠，但会轻微平滑谱函数的高频精细结构。
• 有限尺寸效应（Finite-size effect）：通过比较 $4 \times 16$ 与 $4 \times 32$ 两种尺寸，发现节点谱峰的绝对强度和形状在宽能区内几乎重合（图 S5(c)），证明宽度 4 圆柱体系已能够准确捕捉体相核心关联物理，准一维边界效应已被有效抑制。

3. 代码实现细节，复现指南，所用的软件包及开源 Repo Link

3.1 推荐开源软件包体系

对于强关联体系的张量网络模拟，推荐使用以下两个主流开源生态：

1. ITensor (Julia/C++)：由于其强大的智能指数（Index）管理和对多费米子超选择定则（U(1) 或 SU(2) 内部对称性）的内建支持，是目前复现 METTS 动力学最首选的库。
   • Repo Link: ITensors.jl (GitHub)
2. TeNPy (Tensor Network Python)：包含完善的有限温度算法和一维/准一维哈密顿量构建模块，内置了 TDVP 与 METTS 的标准流程。
   • Repo Link: TeNPy (GitHub)

3.2 复时间 METTS 的核心演化算法逻辑

为了帮助研究人员复现论文中的复时间动力学结果，以下给出基于 ITensor 伪代码规范的核心算法步骤流程：

# 伪代码：复时间 METTS 谱函数演化流程
using ITensors

# 1. 定义圆柱体几何及哈密顿量
sites = spinless_fermion_or_tJ_sites(N_sites; conserve_qns=true)
H = make_t_tprime_J_MPO(sites, t, t_prime, J, geometry_cylinder_width_4)

# 2. 虚时投影算符产生 ( 用于 METTS 投影 e^{-βH/2} )
beta = 1.0 / T
tau_step = 0.05
num_projection_steps = Int((beta / 2.0) / tau_step)
expH_imag = toMPO(exp(-tau_step * H))

# 3. 复时间演化算符产生 ( z = t - iτ, θ为倾角 )
theta = pi / 16
dt = 0.05
d_complex_tau = dt * (cos(theta) - im * sin(theta))
expH_complex = toMPO(exp(-d_complex_tau * H))

# 4. METTS 采样主循环
num_samples = 150 # 每条马尔可夫链深度
current_state = generate_random_classical_product_state(sites)

for step in 1:num_samples
    # 虚时投影：CPS -> METTS snapshot
    psi = copy(current_state)
    for p_step in 1:num_projection_steps
        psi = apply(expH_imag, psi; cutoff=1e-10, maxdim=2000)
        normalize!(psi)
    end
    
    # 计算复时间动力学： C(z) = <psi| c^†_k(z) c_k(0) |psi>
    # 定义初始含时算符作用状态
    vi_0 = apply_operator(c_k_dagger, psi)
    wi_0 = copy(psi)
    
    vi_z = copy(vi_0)
    wi_z = copy(wi_0)
    
    # 沿倾斜复数路径演化
    for t_idx in 1:max_time_steps
        # 作用 exp(-z H)
        vi_z = apply(expH_complex, vi_z; cutoff=1e-8, maxdim=1000)
        wi_z = apply(expH_complex, wi_z; cutoff=1e-8, maxdim=1000)
        
        # 计算在复时间步内的重叠积分
        C_z[t_idx] += inner(wi_z, c_k, vi_z)
    end
    
    # 经典状态更新（Collapse）：通过在局部物理基底上投影，坍缩出下一个经典状态
    current_state = collapse_to_new_CPS(psi)
end

# 5. 时间-空间傅里叶变换、窗口滤波与解析延拓得到 A(k, ω)

3.3 实空间电荷团簇自适应识别算法

为了定量分析实空间中的“森林化相分离”，论文的附录 D 提供了一套自适应电荷团簇搜索算法：

1. 计算局域空穴密度： 对于任意 METTS 抽样状态 $|\psi_s\rangle$，格点 $\mathbf{r}$ 处的空穴密度为：

   $$n^{(s)}_h(\mathbf{r}) = 1 - \langle\psi_s| n(\mathbf{r}) |\psi_s\rangle$$

2. 计算自适应阈值： 计算当前快照的空穴平均密度 $\bar{n}^{(s)}_h$ 和标准差 $\sigma^{(s)}_{n_h}$，引入自适应判断阈值：

   $$n^{(s)}_{h, \text{th}} = \bar{n}^{(s)}_h + c \sigma^{(s)}_{n_h}, \quad \text{其中 } c=0.5$$

3. 团簇归类： 将所有 $n^{(s)}_h(\mathbf{r}) \ge n^{(s)}_{h, \text{th}}$ 的格点标定为富空穴格点。利用最近邻关联规则（二维圆柱面上， $y$ 方向具有周期性），将相互连接的格点划分为单独的电荷团簇（Cluster） $C$。其大小定义为格点数 $m_C = |C|$，携带的空穴质量为：

   $$M_C = \sum_{\mathbf{r} \in C} n^{(s)}_h(\mathbf{r})$$

4. 统计分布： 对所有的快照进行平均，提取密度加权后的团簇尺寸分布概率 $p_m$。这一算法的具体代码实现可以直接写入 Julia 或 Python 数据后处理脚本中。

4. 关键引用文献，以及对这项工作局限性的评论

4.1 关键参考文献

• [3] S. A. Kivelson et al., Rev. Mod. Phys. 75, 1201 (2003)：阐述条纹相、电荷序与高温超导纠缠特征的基石性文献。
• [22] S. R. White & D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 80, 1272 (1998)：首次利用 DMRG 在 $t-J$ 模型中发现条纹相，奠定了该领域研究的数值基础。
• [33] S. R. White, Phys. Rev. Lett. 102, 190601 (2009)：首次提出 METTS 算法，彻底改变了张量网络模拟有限温度物理的范式。
• [36] A. Sinha & A. Wietek, Nat Commun 16, 10807 (2025)：首次揭示了强关联系统中有限温度下的电荷凝聚（Charge Clustering）物理现象。
• [42] Z. Wang et al., Phys. Rev. B 113, 024406 (2026)：开发了复时间矩阵乘积态演化方法，是本文谱函数计算的直接技术源泉。

4.2 本文工作局限性分析与批判性评论

虽然该研究通过极高精度的张量网络数值模拟，极富启发性地展示了伪能隙到条纹相的温度演化，但在应用于真实的铜氧化物材料时，其仍然存在以下几点不容忽视的局限性：

1. 宽度 4 圆柱几何（Width-4 Cylinder）限制了二维物理的完整体现

由于计算复杂度的限制，研究采用的圆柱体横向周长为 $W_y = 4$。在此边界条件下，动量空间中的横向动量被严格量子化为 $k_y = 0, \pm\pi/2, \pi$ 四个离散值。这种几何局限直接导致其无法细致、平滑地扫描整张二维布里渊区。特别是费米弧（Fermi Arc）在二维极限下是一个连续变化的曲线，而在 $W_y=4$ 的体系中只能表现为极少数动量格点上的强度转移，这可能导致人为的高估或低估能隙的打开行为。

2. “预阻止相分离”对一维局域化效应的潜在依赖

作者提出中间温度区存在的“森林化相分离”（即电荷聚集成介观大小而非宏观大小的团簇）是一个极有新意的观点。然而，在准一维系统（如圆柱体 $W_y=4$）中，局域化效应（Localization effect）和涨落通常显著强于真正的二维块体体系。这种电荷团簇的稳定存在，多大程度上来自于准一维晶格对宏观电荷凝聚的几何阻挫，多大程度上代表真实的二维体相热力学稳定态，仍需要更宽尺寸（如 $W_y = 6, 8$）的系统检验。

3. 动力学复杂解析延拓的精度依赖

尽管引入复时间路径 $\theta = \pi/16$ 成功地在时间步内引入了高能衰减，但对衰减信号的逆傅里叶变换或解析延拓在本质上仍是一个病态反演（Ill-posed Problem）过程。尤其在谱函数的极高能部分（如 $\omega - \mu \ge 2$），极微小的时间信号扰动就可能在能谱中催生出虚假的散射背景。虽然论文使用了黑曼-哈里斯窗口进行平滑，但这也势必会损失部分细微能级激发的寿命信息。

4. 单带 $t-t'-J$ 模型的过简抽象

铜氧化物超导体的真实电子轨道涉及复杂的氧 $2p$ 轨道与铜 $3d$ 轨道的杂化（即三带 Emery 模型）。虽然单带 $t-t'-J$ 模型能极好地重现张开能隙和磁极化子行为，但它抹杀了电荷自旋分离等可能导致非费米液体行为的更深层次的多轨物理机制。

5. 其他必要的补充：物理解释与凝聚态前沿展望

5.1 奇数空穴团簇（Odd-Hole Clusters）的涌现与非配对伪能隙图景

本工作最令人瞩目的物理发现，隐藏在有限温度下团簇快照的空穴质量分布中（论文图 4 与图 S7）。传统的预配对理论认为，空穴应该以两个为一组的方式（即库珀对的前驱体）在空间进行团聚，这对应于偶数空穴质量区 $I_2 = [1, 2)$ 和 $I_4 = [3, 4)$。

然而，METTS 的高精度统计计算表明：在中间温度区间（$T \approx 0.1 - 0.2$），奇数空穴团簇（特别是带有 3 个空穴的团簇 $I_3 = [2, 3)$）贡献了极为显著的光谱权重（如图 S7 所示）。

这一发现具有里程碑式的物理意义：

• 物理机制：一个包含 3 个空穴的团簇在统计学上是稳定且广泛存在的，它显然无法被单纯地解释为两两配对的库珀对行为。这有力地反驳了“伪能隙完全起源于超导配对涨落”的单一机制说。
• 电荷与自旋的交织：奇数空穴团簇的涌现表明，伪能隙是由复杂的局域电荷不均匀性、磁极化子相互作用以及条纹相的空间涨落共同决定的。在中间温度，相干条纹相虽然融化，但系统内部强大的局域库仑关联与超交换作用依然在微观尺度阻止系统退化为无相互作用的费米液体。这种“林分化（Forestalled）”状态极好地解释了为何在伪能隙区会同时观测到类似超导的局域谱特征和强烈的空间电荷密度波不均匀性。

5.2 与冷原子模拟（Cold Atom Simulation）的前沿互补

随着费米量子气体显微镜（Fermi Quantum Gas Microscope）技术的发展，冷原子实验目前已能模拟高达数十个格点的单带费米-哈巴德模型，并达到了关联温度 $T/t \approx 0.1 - 0.15$。冷原子实验可以直接通过原位成像（In-situ Imaging）技术测量类似于本论文图 4 中的空穴分布快照。

本文利用 METTS 预测的温控电荷凝聚分布、特别是奇数空穴团簇的温度演化曲线，可以与冷原子气体实验进行直接、无参数比对。这不仅能全方位验证数值张量网络的计算精度，也将成为连接数值量子多体计算、冷原子模拟实验与铜氧化物材料谱学观测的三向桥梁。

5.3 结论与未来演化方向

本文的工作充分证明了：基于复时间的张量网络动力学（Complex-Time Dynamical METTS）是攻克强关联多体体系有限温度难题的锐利武器。未来，随着算法对更宽几何（如 $W_y = 6, 8$ 柱体）的推广，以及对包含自旋对称性（SU(2)）张量网络架构的全面适配，我们有望在更为逼真的二维热力学极限下，彻底终结关于伪能隙、条纹相与高温超导配对机制之间长达四十年的世纪争论。