来源论文: https://arxiv.org/abs/2606.09984v1 生成时间: Jun 10, 2026 06:37

驯服晶格实时模拟中的乌姆克拉普过程：基于伊辛场论的流体力学涌现深度解析

0. 执行摘要

在强相互作用多体系统的非平衡态动力学研究中，如何从第一性原理出发计算实时输运系数（如切变粘滞度 $\eta$ 和体积粘滞度 $\zeta$）是当前高能核物理与凝聚态物理共同面临的核心瓶颈。传统的欧氏空间晶格规范理论（Lattice QCD）受限于解析延拓（Analytic Continuation）和谱重构（Spectral Reconstruction）的严重病态问题，难以给出高精度的实时关联函数。哈密顿量形式下的实时晶格模拟（Real-time Lattice Hamiltonian Simulation）被视为解决这一问题的根本途径，其不仅天然规避了谱重构难题，还为未来量子计算在量子色动力学（QCD）中的应用奠定了理论与算法基础。

然而，实时晶格模拟引入了一个致命的晶格伪影——乌姆克拉普过程（Umklapp Process）。晶格的离散平移对称性破坏了连续动量守恒，导致系统中的声波传播（Sound Mode）在长波极限下退化为无特征的能量扩散模式（Diffusive Mode），从而彻底掩盖了真实的流体力学行为。

本文深入解析了一项里程碑式的工作：通过实时晶格哈密顿量模拟，系统地研究了 $1+1$ 维非积可伊辛场论（Ising Field Theory, IFT）的能量-动量张量实时对称关联函数。利用经典精确对角化（Exact Diagonalization, ED）和矩阵乘积态（Matrix Product States, MPS）张量网络技术，研究团队首次在数值上清晰地展示了：在晶格理论的缩放区域（Scaling Region）内，乌姆克拉普过程被显著压制，连续动量守恒得到恢复，相对论性流体力学的声波模式在长波和晚时极限下自然涌现。

基于这一突破，本工作在连续极限下非微扰地提取了该非积可场论在温度 $T/m_1 \approx 7.141$ 时的输运参数：

• 体积粘滞度与熵密度之比：$\zeta/s = 14.19 \pm 0.90$
• 声速：$c_s/c = 0.76 \pm 0.02$

这一研究不仅证实了实时晶格哈密顿量模拟描述流体力学涌现的可行性，更为未来非微扰输运系数的精密计算扫清了根本性的理论障碍。

1. 核心科学问题，理论基础，技术难点，方法细节

1.1 核心科学问题：从实时关联函数到流体力学行为

在高能重离子碰撞（如RHIC和LHC）中，夸克胶子等离子体（QGP）表现出近乎完美的流动性，这一现象通常使用相对论性粘滞流体力学来描述。流体力学作为一种低频长波的有效理论，其核心输入量是输运系数（粘滞度、电导率等）。

在量子场论中，输运系数与能量-动量张量 $T^{\mu u}$ 的实时关联函数有着直接的联系（例如 Kubo 公式）。具体而言，对称实时关联函数定义为：

其中 $\langle \dots angle_T = ext{Tr}(\dots ho_T)$，$ ho_T = e^{-eta H}/Z$ 为热力学平衡态的密度矩阵。

然而，在晶格离散化后，连续空间的庞加莱群（Poincaré Group）退化为空间晶格群。由于动量空间被限制在第一布里渊区 $[-\pi/a, \pi/a]$ 之间（其中 $a$ 为晶格常数），晶格上的动量守恒仅满足模 $2\pi/a$ 守恒：

当 $n eq 0$ 时，即发生了乌姆克拉普过程（Umklapp Process）。这种动量泄露机制导致声波在传播过程中不断与晶格背景发生碰撞，从而使本应无阻尼（或弱阻尼）传播的流体力学声速模式直接衰变为普通的扩散模式。如何在外推至连续极限（$a o 0$）的过程中，“驯服”并压制乌姆克拉普过程，是实时模拟能够正确描述流体力学行为的先决条件。

1.2 理论基础：$1+1$ 维伊辛场论（Ising Field Theory, IFT）

为了在最干净的环境中研究这一问题，本工作采用了 $1+1$ 维伊辛场论。这一理论可以通过对 $1+1$ 维伊辛共形场论（CFT，描述自由无质量马约拉纳费米子）引入能量算符 $\epsilon(x)$ 和自旋算符 $\sigma(x)$ 的微扰来构建：

其中 $ au$ 控制温度与临界温度的偏差，$h$ 为外加磁场。两者的共形标度维数分别为 $\Delta_\epsilon = 1$ 和 $\Delta_\sigma = 1/8$。

该场论的物理特性由一个无量纲常数决定：

在哈密顿量形式下，该场论在晶格上的对应物是具有横向场 $h_x$ 和纵向场 $h_z$ 的一维伊辛链：

其中 $\sigma^{x,y,z}$ 为保利矩阵。本工作主要采用周期性边界条件（PBC），即 $\sigma^z_L = \sigma^z_0$。

为了寻找物理的连续极限，需要将参数限制在晶格重整化群的**缩放区域（Scaling Region）**内。具体的缩放极限取法为：

同时，横向场 $h_x$ 需要按照如下流向进行重整化：

这里，无量纲晶格参数 $\xi_{ ext{lat}}$ 与连续区间的 $\xi$ 一一对应：

• 当 $\xi_{ ext{lat}} = 0$ 时，对应著名的 $E_8$ 可积场论（Zamolodchikov 发现，包含 8 种稳定粒子）。
• 当 $\xi_{ ext{lat}} = \infty$ 时，对应自由有质量马约拉纳费米子。
• 当 $0 < \xi_{ ext{lat}} < \infty$ 时，理论是非可积的（Non-integrable）。此时，系统的稳定粒子数随 $\xi_{ ext{lat}}$ 的增加而减少（从 3 个减少到 1 个），且由于非可积性，系统在热化后能够展现出流体力学行为。本工作精细选择了 $\xi_{ ext{lat}} = 0.01$，这是一个极度接近可积点但本质上非可积的参数，保证了多粒子散射和热化的发生。

1.3 技术难点：晶格能量-动量张量的构造

在连续场论中，能量-动量张量 $T^{\mu u}$ 满足守恒守律：$\partial_\mu T^{\mu u} = 0$。但在离散晶格上，如何构造一个精确满足局部守恒律并能在连续极限下正确过渡到物理张量的算符，是一个技术难点。

本工作基于哈密顿算符的局部结构构造了格点上的能量密度 $T^{00}_i$ 和能量流密度 $T^{10}_i$。首先定义格点能量算符：

显然满足 $H = \sum_{i=0}^{L-1} H_i$。为了定义能量流 $J_i \equiv T^{10}_i$，我们使用海森堡运动方程来写出能量局部守恒的离散形式：

由于 $H_j$ 仅与最邻近的格点耦合，对易子 $[H_j, H_i]$ 仅在 $|i-j| \le 1$ 时非零。因此：

对比连续性方程 $\partial_t T^{00} + \partial_x T^{10} = 0$，可以自然地将晶格上的能量流算符定义为：

代入伊辛链哈密顿量，经过严谨的代数对易演算，得到其显式表达：

这是晶格上局域且厄米的算符，对应动量流密度。

1.4 晶格动量守恒的破坏与恢复

洛伦兹不变性要求 $T^{01} = T^{10}$，因此总动量应为 $J_{ ext{tot}} = \sum_i J_i$。然而，在离散晶格哈密顿量中，总动量 $J_{ ext{tot}}$ 与总哈密顿量 $H$ 并不对易：

这是一个极为关键的物理发现：晶格动量不守恒的根源在于纵向场 $h_z$ 的存在（当 $h_z = 0$ 时对易子为 0）。 利用算符范数估计，可以严格限制其破坏程度：

由于重整化群流向要求在连续极限下 $h_z o 0^-$，如果我们在增大系统尺寸 $L$ 的同时，保持物理体积不变（即保持 $|h_z|^{8/15}L = ext{const}$），那么：

这证明了只要系统处于重整化群的物理缩放区域，连续动量守恒将在连续极限下被自洽恢复，从而在理论上确立了压制乌姆克拉普过程的可能性。

2. 关键 Benchmark 体系，计算所得数据，性能数据

为了在数值上彻底证实上述理论预言，本工作设计了三个极具说服力的 Benchmark 体系，并展示了高质量的计算数据。

2.1 Benchmark 1：$L=20$ 晶格的精确对角化（ED）分析

由于系统的希尔伯特空间维度为 $2^{20} \approx 1.05 imes 10^6$，可以在各动量守恒子空间（$k = 2\pi n_k / L$）内利用 Lanczos 算法进行精确对角化，获取全部低能谱。

2.1.1 缩放区域的确定（质量比分析）

图 1 展示了晶格上稳定粒子质量比 $m_2/m_1$ 和 $m_3/m_1$ 随纵向场 $h_z$ 的变化。

• 在 $h_z \in [-0.3, -0.15]$ 区间内，晶格测得的质量比高度逼近 Zamolodchikov 理论的经典预测值（$m_2/m_1 = 2\cos(\pi/5) \approx 1.618$，$m_3/m_1 = 2\cos(\pi/30) \approx 1.989$）。
• 这精准确立了 $L=20$ 时物理缩放区域的边界：$h_z \in [-0.3, -0.15]$。当 $|h_z| < 0.1$ 时，晶格常数过大，无法支撑量子场论的涌现；当 $|h_z| > 0.4$ 时，系统偏离临界点，格点伪影占主导。

2.1.2 非可积性的验证（能级间距统计）

图 2 计算了限制性间距比（Restricted Gap Ratio）的期望值 $\langle r angle$。

• 在缩放区域 $h_z \in [-0.3, -0.15]$ 内，测得的 $\langle r angle \approx 0.5307$，这与高斯正交系（GOE）随机矩阵的预言值（0.5307）极其吻合，而显著偏离泊松分布（0.3863）。这无懈可击地证明了所选体系的非可积性，为热化和流体力学演化提供了动力学根源。

2.1.3 乌姆克拉普过程压制的直接证据

图 3 展示了能量关联函数 $G^{00}_s(\omega, k)$ 的行为：

• 非缩放区（$h_z = -1.0$）：在极低频处，关联函数表现出非常尖锐的峰，该峰能用纯粹的扩散公式精确拟合： $$G^{00}_s(\omega, k) \approx rac{b}{|\omega| + 4D_\epsilon \sin^2(k/2)}$$ 拟合得到的扩散系数在 $n_k=1$ 和 $n_k=2$ 处分别为 $D_\epsilon = 0.4384$ 和 $0.4353$（高度一致），完美契合晶格乌姆克拉普过程主导的扩散物理（见表 I）。
• 缩放区内（$h_z = -0.3, -0.15$）：随着耦合流向缩放区，该零频扩散峰彻底消失。
• 与此同时，在动量流关联函数 $G^{10}_s(\omega, k)$ 中（图 4），在 $h_z = -0.15$ 处开始隐约出现非零频率的有限峰（声波模式的萌芽），其可以用布赖特-维格纳（Lorentzian）线型进行拟合，这初步释放了声波恢复的信号。

表 I: 晶格非缩放区内能量扩散关联函数的拟合参数

2.2 Benchmark 2：大尺寸晶格（$L=32, 64$）的张量网络（MPS）模拟

当系统尺寸增大到 $L=64$ 时，希尔伯特空间维度暴增至 $2^{64} \approx 1.84 imes 10^{19}$，精确对角化彻底失效。研究人员采用基于 ITensor 库的矩阵乘积态（MPS）算法进行了实时变分模拟。

2.2.1 物理参数的重整化群流（RG Flow）

在进行动力学演化前，必须首先确定真空性质的重整化。

1. 质量 gaps 的重整化：图 5 显示，在 $L=32$ 晶格上，基态到第一激发态的质量 gap $m_1$ 随重整化参数 $|h_z|^{8/15}$ 呈完美的线性关系。拟合斜率为 $5.375$，截距仅为 $2.790 imes 10^{-3}$。这确立了晶格常数 $a \propto |h_z|^{8/15}$ 的依赖关系，从而给出了理论的 $eta$ 函数： $$ rac{d \ln |h_z|}{d \ln a} = rac{15}{8}$$
2. 光速的重整化：在哈密顿量形式下，物理光速 $c$ 并非先验设为 1，必须通过色散关系拟合得出： $$[E_1(k)]^2 = m_1^2 + 4c^2 \sin^2(k/2)$$ 图 7 展示了外推至连续极限（$|h_z| o 0$）的过程，外推公式为 $c(|h_z|) = c_0 + c_1|h_z|^{8c_2/15}$。拟合得到连续极限下的光速为： $$c_0 = 2.0006 \approx 2.0$$ 这意味着要在连续极限下使光速 $c_{ ext{phy}} = 1$，只需将哈密顿量（等价于时间轴）整体乘以 $1/2$。

2.2.2 实时动力学演化与热净化（Purification）

模拟在有限温度 $eta = 0.1$ 下进行。热态通过将无限温度下的 MPO 利用第二阶 Trotter-Suzuki 劈裂进行虚时演化（TEBD）得到，演化步数 $N_ au = 10$，Trotter 误差控制在 $\mathcal{O}(10^{-5})$。 在 $t=0$ 时，对热平衡态施加一个局域的能量流扰动：

其中扰动强度取 $\Delta = 0.01$。接着利用**时变变分原理（TDVP）**算法进行实时演化，实时演化步长 $\Delta t = 0.1$。为了在有限的 $\Delta$ 下精确提取关联函数并抵消 $\mathcal{O}(\Delta^2)$ 的系统误差，采用了对称差分测量技术：

图 8 展示了 $L=32$ 和 $L=64$ 晶格上关联函数 $G^{10}_s(t, x)$ 的时空演化彩色等高线图。可以非常清晰地观测到：一个局域产生的扰动，以一条清晰的直线特征波前向外扩散传播，这正是典型的声波锥（Sound Cone）物理图像！

2.3 性能与收敛性测试

为了确保实时动力学演化中截断误差不对物理结论产生负面影响，工作对 MPS 的键合维度（Bond Dimension, $D$）和 TDVP 步长 $\Delta t$ 进行了系统性的收敛性基准测试（图 9）。

• 在扰动波前尚未到达晶格边界之前（$t \le 8$），$D=200$ 与 $D=500$、$\Delta t = 0.1$ 与 $\Delta t = 0.05$ 的计算曲线在所有格点上完全重合，系统误差控制在 $\mathcal{O}(10^{-3})$ 以下。
• 当波前到达边界时（$t \ge 9$），由于周期性边界条件导致的缠结纠缠迅速累积，低键合维度的模拟（$D=200$）开始偏离高精度的精确解。这表明对于 $L=64$ 的晶格，在 $t \le 15$ 的物理窗口内，取 $D=200$ 已足够保证流体力学特征分析的精度。

3. 代码实现细节，复现指南，所用的软件包及开源 repo link

为了让量子计算、量子化学以及凝聚态物理的研究人员能够顺利复现本工作的结果，以下提供一份详尽的基于 ITensor (Julia) 的复现指南及核心算法框架。

3.1 推荐开发环境与软件包

复现该项目需要安装 Julia 1.9+ 以及以下开源张量网络软件包：

1. ITensors.jl：用于核心张量网络操作，包括 MPS/MPO 构造、DMRG 计算。
   • Repo Link: https://github.com/ITensor/ITensors.jl
2. TensorMixedStates.jl：专门针对有限温度热态纯化演化开发的 ITensor 扩展包。
   • Repo Link: https://github.com/ITensor/TensorMixedStates.jl
3. KrylovKit.jl：用于 TDVP 中局部 Lanczos 指数演化求解。
   • Repo Link: https://github.com/Jutho/KrylovKit.jl

3.2 核心复现流程步骤

步骤 1：哈密顿量 MPO 构造

在 ITensor 中定义 $1+1$ 维伊辛哈密顿量：

using ITensors

function build_ising_hamiltonian(sites, J, hx, hz)
  N = length(sites)
  os = OpSum()
  # 周期性边界条件相互作用项
  for i in 1:(N-1)
    os += J, "Sz", i, "Sz", i+1
  end
  os += J, "Sz", N, "Sz", 1 # PBC
  
  # 单粒子场项
  for i in 1:N
    os += hx, "Sx", i
    os += hz, "Sz", i
  end
  return MPO(os, sites)
end

步骤 2：热态准备（Purification MPO）

构造一个物理格点与辅助格点（ancilla）相纠缠的双系统，初始为最大纠缠态，代表 $eta = 0$ 的无限温度态。然后通过虚时演化 $\exp(-eta H / 2)$ 冷却至目标温度 $eta = 0.1$。

# 利用带有虚辅助格点的物理空间定义 site indices
# 辅助格点的演化算符设为单位算符 1
function construct_thermal_state(sites, H, beta, dtau=0.01)
  steps = Int(beta / (2 * dtau))
  # 初始化最大纠缠 MPO
  rho = make_identity_mpo(sites) 
  
  # 构建虚时演化算符 exp(-dtau * H)
  expH = toExpMPO(H, -dtau, PBC=true)
  
  # 执行虚时冷却演化
  for step in 1:steps
    rho = apply(expH, rho; cutoff=1e-12, maxdim=500)
    normalize!(rho)
  end
  return rho
end

步骤 3：施加实时局部扰动

构造扰动算符 $T^{10}_0$。由于 $T^{10}_0 = J h_x (\sigma^z_{1}\sigma^y_0 - \sigma^z_0 \sigma^y_{1})$ 是局域两体算符，我们将其近似指数化为门算符施加在中心格点上。

function apply_perturbation(rho, sites, J, hx, delta)
  N = length(sites)
  center = Int(N / 2)
  # 构造局域扰动算符 T10
  # T10_op = J * hx * (Sz_{c+1} * Sy_{c} - Sz_{c} * Sy_{c+1})
  # 利用 ITensor MPO 作用或者局部 QR 构造指数算符 exp(delta * T10)
  U_p = build_local_exponential_gate(sites, center, J, hx, delta)
  U_m = build_local_exponential_gate(sites, center, J, hx, -delta)
  
  rho_p = apply_gate(U_p, rho) # 得到正向扰动热态
  rho_m = apply_gate(U_m, rho) # 得到负向扰动热态
  return rho_p, rho_m
end

步骤 4：实时 TDVP 演化与差分测量

使用一格点（1-site）或两格点（2-site）TDVP 演化扰动状态，并对每个时间步测量的格点 $T^{10}_i$ 算符求和以进行空间傅里叶变换。

# 核心演化循环示例
function run_realtime_evolution(rho_p, rho_m, H, tmax, dt)
  steps = Int(tmax / dt)
  G10_s = zeros(steps, L)
  
  for step in 1:steps
    # 利用 TDVP 演化一个时间步长 dt
    rho_p = tdvp(H, -im*dt, rho_p; cutoff=1e-12, maxdim=200)
    rho_m = tdvp(H, -im*dt, rho_m; cutoff=1e-12, maxdim=200)
    
    # 测量每个格点上的 T10 值
    for x in 1:L
      val_p = measure_local_T10(rho_p, x)
      val_m = measure_local_T10(rho_m, x)
      # 差分法提取对称关联函数
      G10_s[step, x] = (val_p - val_m) / (2 * delta)
    end
  end
  return G10_s
end

4. 关键引用文献，以及你对这项工作局限性的评论

4.1 关键引用文献及其在工作中的基石作用

1. Zamolodchikov, Adv. Stud. Pure Math. 19, 641 (1989) [文献 47]：
   • 贡献：发现了 $1+1$ 维伊辛场论在纵向场和横向场特定比例下的 $E_8$ 质量谱可积性。本工作以此为精准对照组（取 $\xi_{ ext{lat}} = 0.01$），微扰偏离此可积点来构建强关联非可积热化系统。
2. Turro and Yao, Phys. Rev. D 111, 094502 (2025) [文献 37]：
   • 贡献：首次在晶格 $SU(2)$ 规范场论中讨论了乌姆克拉普过程对流体力学实时演化的破坏。本工作在此基础上，首次在一维量子场论中实现连续极限外推并压制了该过程。
3. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003) [文献 42]：
   • 贡献：提出了张量网络的经典演化方案（TEBD）。本工作利用其纯化思想制备了高精度的有限温初态。
4. Arnold and Yaffe, Phys. Rev. D 57, 1178 (1998) [文献 41]：
   • 贡献：给出了热等离子体中实时关联函数有效动力学的微观基础。本工作用于声波衰减与流体力学耗散方程（Lorentzian 谱函数形式）的拟合理论依据。

4.2 局限性与严厉的学术评论

虽然该工作在数值上极具创新性，并首次打通了“哈密顿晶格模拟 $ o$ 连续极限重整化 $ o$ 压制晶格伪影 $ o$ 提取输运系数”的完整闭环，但从量子模拟和流体力学物理的严苛视角审视，仍存在以下重要局限：

1. 一维（1+1D）流体力学的物理独特性与病态性：
   • 评论：流体力学在一维空间有其天然的独特性。在严格的 1+1 维中，由于守恒律的强限制，真实粘滞流体力学的非线性涨落极易导致输运系数的红外发散（所谓的非线性流体力学长时尾巴行为，Long-time Tails）。本工作采用的是线性化一阶流体力学方程，这在 $1+1$ 维高阶涨落占主导时可能只是一个近似的物理图像。如何将这一框架扩展到高维（如 $2+1$ 维和 $3+1$ 维），是检验其能否真正应用于真实 QCD 等离子体的试金石。
2. 热力学量的近似估算所引入的系统误差：
   • 评论：在提取体积粘滞度 $\zeta/s$ 的过程中，熵密度 $s$ 的提取采用了一个极强的假设：假设系统在所研究的温度下满足非相互作用标量气体的自由熵密度行为（即 $s \propto T$）。尽管文章给出了合理的物理辩护（指出质量效应在高温度下可忽略不计），但在非可积强关联区间，这一假设必然引入不可控的、未被量化的系统误差。未来必须发展出不依赖该假设的、通过热力学配分函数直接非微扰提取熵密度的张量网络算法。
3. 长时缠结增长对 TDVP 的“物理墙”限制：
   • 评论：在实时演化中，扰动诱导的纠缠熵随时间呈线性增长（$S \sim t$）。为了维持截断精度，所需的 MPS 键合维度将随时间指数级膨胀：$D \sim e^{\alpha t}$。本工作之所以能够完成拟合，得益于声波在 $t \le 15$ 的短时间内就已经展现出简谐阻尼特征。如果要研究更低频、更长波的长寿命激发模式，经典张量网络必然遭遇“纠缠墙”而崩溃。这一局限性也从反面强力论证了未来在真实量子计算机（Quantum Hardware）上运行实时哈密顿模拟的绝对必要性。

5. 其他必要的补充：体积粘滞度物理本质与重离子碰撞流体力学

为了帮助高能物理与凝聚态交叉领域的学者更深入理解这一工作的物理内涵，有必要对**体积粘滞度（Bulk Viscosity, $\zeta$）**的微观起源以及其在相对论重离子碰撞中的角色进行深度补充。

5.1 体积粘滞度 $\zeta$ 的微观物理本质

与大家熟知的切变粘滞度 $\eta$（阻碍流体剪切形变，代表动量在垂直于流动方向的输运）不同，体积粘滞度 $\zeta$ 衡量的是系统在经历各向同性的膨胀或压缩时，由于内部自由度无法瞬间跟上宏观体积变化而产生的熵增和能量耗散。

在微观上，体积粘滞度直接正比于系统对**共形对称性（Conformal Invariance）**的破坏程度。 对于一个严格共形对称（即无质量，或处于超对称杨-米尔斯极限下）的流体，其追踪的能量-动量张量是无迹的：$T^\mu_\mu = 0$。此时：

只有当系统引入特征质量尺度（如粒子质量 $m$，或 QCD 重整化群产生标度流 $\Lambda_{ ext{QCD}}$）时，共形对称性被破坏，$T^\mu_\mu eq 0$，体积粘滞度才会显现。

本工作研究的伊辛场论由于远离共形临界点，具有三个截然不同的物理稳定粒子质量（$m_1, m_2, m_3$），这构成了极强的共形破坏。 从弱耦合动力学动力论（Kinetic Theory）的角度来看，体积粘滞度的最主要微观贡献来源于粒子数不守恒的散射过程（如 $2 o 4$ 过程）。这类过程由于需要克服质量阈值，其反应截面在高能下按耦合常数的高阶幂次 $\lambda^4$ 衰减：

因此，体积粘滞度的微观输运系数在弱耦合下具有逆向标度行为：

这解释了为什么本工作非微扰提取的 $\zeta/s \approx 14.19$ 数值如此巨大（作为对比，流体著名的 AdS/CFT 剪切粘滞度下界 $\eta/s \ge 1/4\pi \approx 0.08$）。在非可积强关联区域，由于多体非弹性散射极其剧烈，体积粘滞度表现出了极其丰满的强关联非微扰行为，这恰恰是流体力学能够完美工作的区域。

5.2 提取出的输运物理图像

图 15 和图 16 展现了从实时模拟中提炼出的流体力学重整化图像：

1. 声速外推： $$ rac{c_s}{c} = 0.759 \pm 0.019$$ 在连续极限下，声速大约为光速的 $0.76$ 倍。对于自由一维相对论气体，共形极限下的声速应为 $c_s/c = 1/\sqrt{d} = 1.0$。该值偏离 $1.0$ 再次印证了系统强烈的非共形特征。
2. 体积粘滞度外推： $$ rac{\zeta}{s} = 14.192 \pm 0.899$$ 这是首个利用实时晶格哈密顿量外推在连续极限下得到的体积粘滞度非微扰确定值。这一精度（误差仅为 $6\%$ 左右）极高，充分展现了将实时模拟与重整化群外推相结合的巨大威力。这一成功范式为未来在真实三维物理世界中利用数字化量子器件（Digital Quantum Devices）非微扰求解 QCD 输运性质铺平了道路。